극값은 함수가 어떤 점에서 가지는 최대값 또는 최소값을 가리키는 말입니다. 구체적으로 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 정의 - 국소(또는 지역) 극값: 점 x0의 어떤 이웃(작은 구간) 안에서 함수값이 x0에서 가장 크거나 작은 경우를 말합니다. - 국소 최대값: 어떤 이웃의 모든 x에 대해 f(x) ≤ f(x0). - 국소 최소값: 어떤 이웃의 모든 x에 대해 f(x) ≥ f(x0). - 엄격한(Strict) 국소 극값은 부등호가 전부 엄격(>) 또는 (<)인 경우. - 전역(또는 절대) 극값: 정의역 전체에서 가장 크거나 작은 값. - 전역(절대) 최대값: 모든 x에 대해 f(x) ≤ f(x0). - 전역(절대) 최소값: 모든 x에 대해 f(x) ≥ f(x0). 관련 개념 - 임계점(critical point): 도함수가 존재할 때 f'(x0)=0이거나 도함수가 존재하지 않는 점. 내부에서의 국소 극값은 임계점이다(페르마의 정리). - 안장점(saddle point): 도함수는 0이지만 극값이 아닌 점(예: f(x)=x^3의 x=0). - 상계(upper bound), 하계(lower bound), 최댓값/최솟값이 존재하지 않을 때의 supremum(최소상계)/infimum(최대하계). 판정법(일변수) - 1차 도함수 부호 변화: f'가 + → − 로 바뀌면 국소 최대, − → + 면 국소 최소. - 2차 도함수 테스트: f'(x0)=0이고 f''(x0)>0이면 국소 최소, f''(x0)<0이면 국소 최대, f''(x0)=0이면 불충분(추가 검사 필요). - 폐구간 정리(극값 존재 정리): 연속함수는 유한 닫힌 구간에서 전역 최대·최소를 반드시 가진다. 다변수 함수의 경우 - 기울기(gradient) ∇f(x0)=0인 점이 후보(임계점). - 헤시안 행렬(Hessian)의 양·음의 정칙성으로 판정: 양정의이면 최소, 음정의이면 최대, 부정이면 안장점. 예 - f(x)=x^2는 x=0에서 전역(및 국소) 최소. - f(x)=-x^2는 x=0에서 전역(및 국소) 최대. - f(x)=x^3은 x=0에서 f'(0)=0이지만 극값이 아닌 안장점. - f(x)=x (정의역 (0,1))는 최댓값·최솟값을 갖지 않지만 sup=1, inf=0. 요약 - 극값은 함수가 지역적으로 또는 전체적으로 가장 크거나 작은 값을 갖는 점과 그 값이며, 도함수·헤시안 같은 미분학적 도구로 후보를 찾고 부호 변화나 행렬의 정칙성으로 판정한다. 연속 함수는 닫힌 구간에서 반드시 전역 극값을 갖는다.
