수정하기 - 등비수열의 합을 구하는 공식은 무엇인가요?

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등비수열(Geometric Sequence)은 각 항이 이전 항에 일정한 비율을 곱하여 얻어지는 수열입니다. 예를 들어, 첫 번째 항을 \( a \), 공비를 \( r \)이라고 할 때, 등비수열의 일반항은 다음과 같이 표현됩니다:    \[  a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}  \]    여기서 \( n \)은 항의 개수를 나타냅니다. 등비수열의 합을 구하는 공식은 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다. 첫째, 공비 \( r \)이 1이 아닌 경우와 둘째, 공비 \( r \)이 1인 경우입니다.           1. 공비 \( r \neq 1 \)인 경우    등비수열의 합 \( S_n \)은 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다:    \[  S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}  \]    여기서:  - \( S_n \)은 첫 \( n \)항의 합  - \( a \)는 첫 번째 항  - \( r \)은 공비  - \( n \)은 항의 개수    이 공식은 다음과 같은 유도 과정을 통해 도출됩니다. 먼저, \( S_n \)을 정의하고 양변에 공비 \( r \)을 곱합니다:    \[  S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1}  \]  \[  r S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n  \]    이 두 식을 빼면:    \[  S_n - r S_n = a - ar^n  \]  \[  S_n(1 - r) = a(1 - r^n)  \]    따라서, \( S_n \)을 구하면:    \[  S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}  \]           2. 공비 \( r = 1 \)인 경우    공비가 1인 경우, 모든 항이 동일하므로, 첫 번째 항 \( a \)가 \( n \)번 반복됩니다. 따라서, 이 경우의 합은 다음과 같습니다:    \[  S_n = na  \]           예제    예를 들어, 첫 번째 항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 첫 4항의 합을 구해보겠습니다.    1. 항: \( 2 \)  2. 공비: \( 3 \)  3. 항의 개수: \( 4 \)    공식을 사용하여 합을 계산하면:    \[  S_4 = 2 \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80  \]    따라서, 이 등비수열의 첫 4항의 합은 80입니다.           결론    등비수열의 합을 구하는 공식은 수학에서 매우 유용하게 사용됩니다. 특히 금융, 물리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용되며, 공비와 항의 개수에 따라 합을 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제공합니다.