수정하기 - 행렬의 곱셈은 어떻게 이루어지나요?

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행렬의 곱셈은 두 행렬을 결합하는 연산으로, 조금 복잡하지만 간단한 규칙을 따릅니다. 행렬 A와 행렬 B를 곱할 때, 다음과 같은 조건들이 충족되어야 합니다.    1.   차원 호환성  : 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 같아야 합니다. 즉, 행렬 A가 m×n 크기이고 행렬 B가 n×p 크기일 때, 행렬 A와 B를 곱할 수 있으며, 결과 행렬 AB는 m×p 크기가 됩니다.    2.   곱셈 규칙  : 행렬 A의 i번째 행과 행렬 B의 j번째 열을 곱하여 결과 행렬의 (i, j) 요소를 계산합니다. 구체적인 방법은 다음과 같습니다.       - 결과 행렬 AB의 (i, j) 요소는 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 대응하는 요소를 모두 곱하고, 그 곱의 합을 구하는 방식으로 계산됩니다. 이 과정을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.          \[     (AB)<a href='https://sangseek.com/sangseeks/_{ij}/ko'>_{ij}</a> = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}     \]       여기서 \(A_{ik}\)는 행렬 A의 i번째 행의 k번째 요소, \(B_{kj}\)는 행렬 B의 k번째 행의 j번째 요소를 의미합니다.           예제  행렬 A와 B가 다음과 같다고 가정해 봅시다.    \[  A = \begin{pmatrix}  1 & 2 \\  3 & 4   \end{pmatrix}, \quad  B = \begin{pmatrix}  5 & 6 \\  7 & 8   \end{pmatrix}  \]    행렬 A는 2×2 크기이고, 행렬 B도 2×2 크기이므로 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 결과 행렬 C를 계산해 보겠습니다.    \[  C = AB = \begin{pmatrix}  (1 \cdot 5 + 2 \cdot 7) & (1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) \\  (3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 6 + 4 \cdot 8)   \end{pmatrix}  \]    이를 계산하면,    - \(C_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19\)  - \(C_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22\)  - \(C_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = 43\)  - \(C_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = 50\)    따라서 결과 행렬 C는 다음과 같습니다.    \[  C = \begin{pmatrix}  19 & 22 \\  43 & 50   \end{pmatrix}  \]    이와 같이 행렬의 곱셈을 수행할 수 있습니다. 주의할 점은 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않기 때문에 \(AB \neq BA\)일 수 있습니다.