수정하기 - 데카르트 좌표계에서 원의 중심과 반지름은 어떻게 구하나요?

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데카르트 좌표계에서 원의 중심과 <a href='https://sangseek.com/sangseeks/반지름/ko'>반지름</a>을 구하는 방법은 다음과 같습니다. 원은 평면에서 모든 점이 일정한 거리(반지름)만큼 떨어져 있는 점들의 집합으로 정의됩니다. 이때 원의 중심은 이 점들이 모여 있는 기준점이 됩니다.           1. <a href='https://sangseek.com/sangseeks/원의 방정식/ko'>원의 방정식</a>    데카르트 좌표계에서 원의 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:    \[  (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2  \]    여기서:  - \((h, k)\)는 원의 중심 좌표입니다.  - \(r\)은 원의 반지름입니다.  - \((x, y)\)는 원 위의 임의의 점의 좌표입니다.           2. 원의 중심과 반지름 구하기             2.1. 원의 중심 구하기    원의 방정식이 주어졌을 때, 원의 중심을 찾기 위해서는 방정식의 형태를 확인해야 합니다. 위의 방정식에서 \(h\)와 \(k\)는 각각 \(x\)와 \(y\)의 변수를 기준으로 한 중심의 좌표입니다. 예를 들어, 방정식이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다:    \[  (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16  \]    이 경우, 원의 중심은 \((h, k) = (3, -2)\)입니다.             2.2. 원의 반지름 구하기    반지름 \(r\)은 방정식에서 \(r^2\)의 값으로 주어집니다. 위의 예에서 방정식의 오른쪽에 있는 16은 \(r^2\)에 해당하므로, 반지름 \(r\)은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:    \[  r = \sqrt{16} = 4  \]    따라서 이 원의 반지름은 4입니다.           3. 일반적인 형태의 원의 방정식    때때로 원의 방정식은 일반적인 형태로 주어질 수 있습니다. 예를 들어:    \[  x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0  \]    이 경우, 원의 방정식으로 변환하기 위해서는 <a href='https://sangseek.com/sangseeks/완전 제곱/ko'>완전 제곱</a>식을 이용해야 합니다. 다음과 같은 단계를 거칩니다:    1. \(x\)와 \(y\) 항을 그룹화합니다:     \[     (x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 9 = 0     \]    2. 각 그룹에 대해 완전 제곱식을 만듭니다:     - \(x^2 + 4x\)는 \((x + 2)^2 - 4\)로 변환됩니다.     - \(y^2 - 6y\)는 \((y - 3)^2 - 9\)로 변환됩니다.    3. 방정식을 다시 정리합니다:     \[     (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0     \]     \[     (x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0     \]     \[     (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4     \]    이제 원의 중심은 \((-2, 3)\)이고, 반지름은 \(r = \sqrt{4} = 2\)입니다.           결론    데카르트 좌표계에서 원의 중심과 반지름을 구하는 과정은 원의 방정식을 이해하고, 필요한 경우 완전 제곱식을 이용하여 방정식을 변형하는 것입니다. 원의 방정식이 주어지면, 중심과 반지름을 쉽게 파악할 수 있습니다. 이러한 방법은 기하학적 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다.